{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "slide"
    }
   },
   "source": [
    "# Matematikai Algoritmusok és Felfedezések II.\n",
    "\n",
    "## 1. SymPy.\n",
    "\n",
    "### 2021 szeptember 9."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "source": [
    "## Technikai információk"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "-"
    }
   },
   "source": [
    "### Oktatók\n",
    "Előadás: Damásdi Gábor <damasdigabor@caesar.elte.com> \n",
    " - (Iroda: Déli 3.508)\n",
    " - Fogadó óra: Előzetes egyeztetés szerint. \n",
    "\n",
    "Gyakorlat: \n",
    " -  Dobrovoczki Péter pdobrovoczki@caesar.elte.hu"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "source": [
    "### Anyagok elérhetősége:\n",
    "- [damasdigabor.web.elte.hu/teaching](https://damasdigabor.web.elte.hu/teaching)\n",
    "- [Kooplex](https://kooplex-edu.elte.hu/hub)\n",
    "- Ha onlinera váltunk: [Youtube csatorna](https://www.youtube.com/playlist?list=PL3L6lTzsxoURHao2aPVWBWak1uxm1J83I)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "source": [
    "## Tantárgy célja\n",
    "\n",
    "- **Matematikusok számára hasznos programozási tudás átadása**\n",
    "- Programozás általános folyamatának gyakorlása\n",
    "- Egy programozási nyelv (Python) alapjainak elsajátítása\n",
    "- Matematikusoknak hasznos programozási könyvtárak megismerése\n",
    "- Matematikai algoritmusok implementálása\n",
    "- Alapozás későbbi órákhoz(Algoritmusok tervezése és elemzése, Adatbányászat, Deep learning)\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "source": [
    "### Tematika\n",
    " - Haladó Python \n",
    " - Hasznos könyvtárak\n",
    " - Matematikai témák/algoritmusok\n",
    " \n",
    " \n",
    " **Lesznek meghívott előadók**\n",
    " - Differenciálegyenletek\n",
    " - Algoritmusok\n",
    " - Gépi tanulás\n",
    " - Optimalizáció, solverek\n",
    " "
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "source": [
    "### Követelmények\n",
    "- Beadandó feladat elkészítése \n",
    "- Beadandó feladat bemutatása"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "slide"
    }
   },
   "source": [
    "### Az általunk használt programozási környezet\n",
    "\n",
    "- Python\n",
    "- Jupyter\n",
    "- Kooplex\n",
    "- Anaconda\n",
    "- Github"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "source": [
    "## Kérdések?"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "slide"
    }
   },
   "source": [
    "# Szimbolikus programozás\n",
    "### Tudományos csomagok (Python Scientific stack)\n",
    "|   csomag |    |\n",
    "| --- | --- |\n",
    "| NumPy | Hatékony N-dimenziós tömb |\n",
    "| SciPy | Numerikus számítások |\n",
    "| Matplotlib | Grafikonok és rajzok  |\n",
    "| IPython (Jupyter) | Interaktív notebook |\n",
    "| **SymPy** | **Szimbolikus számítások** |\n",
    "| Pandas | Adatbányászat |"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "import sympy as sym\n",
    "import math\n",
    "import numpy as np\n",
    "import matplotlib.pyplot as plt\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "A python alapból kerekítve tárolja a `float`-okat"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "math.log(16), math.log(16, 2), math.exp(2), math.exp(math.log(10)),math.sqrt(8)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "fragment"
    }
   },
   "source": [
    "$$\\pi^4+\\pi^5$$ $$=?$$ $$e^6$$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "np.pi**4+np.pi**5-np.e**6"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "source": [
    "# Szimbolikus számítások \n",
    "A szimbolikus számítások célja, hogy a matematikai objektumokat precízen kezelje, kerekítések nélkül, és hogy formális objektumokkal is tudjunk számolni, mint például polinomok vagy függvények. \n",
    "\n",
    "Előnyök:\n",
    " - Pontos eredmény\n",
    " - Közelebb van a matematikai gondolkodásmódhoz\n",
    "\n",
    "Hátrányok:\n",
    " - Körülményes használni\n",
    " - Lassabb \n",
    " - Sok minden megoldhatatlan pontosan"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "source": [
    "## SymPy\n",
    "\n",
    "A SymPy három új típust vezet be a számoknak: Real, Rational és Integer."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "a = sym.Rational(1, 2)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "a"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "sym.Rational(7)**(sym.Rational(1,2))"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "(sym.Rational(7)**(sym.Rational(1,2)))**2"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "sym.pi**2"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "source": [
    "Tetszőleges pontossággal kiértékelhetőek a valós számok:"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "sym.pi.evalf()"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "sym.pi.evalf(2000)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "source": [
    "Itt is van végtelen!"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "sym.oo > 99999"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "sym.oo+1"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "1/-sym.oo"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "source": [
    "#### A szokásos műveletek működnek:"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "print(sym.Rational(1, 2)+sym.Rational(3, 4))\n",
    "print(sym.Rational(1, 2)*sym.Rational(3, 4))\n",
    "print(sym.Rational(1, 2)/sym.Rational(3, 4))"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "raw",
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "source": [
    "Azért mindent nem tud:"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "a=sym.real_root((sym.Rational(8)+sym.real_root(sym.Rational(21),2)*sym.Rational(3)),3)+sym.real_root((sym.Rational(8)-sym.real_root(sym.Rational(21),2)*sym.Rational(3)),3)-1\n",
    "a"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "a.evalf(20)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "source": [
    "### Szimbolikus változók\n",
    "A Python változóival szemben itt deklarálni kell a változókat!"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "x = sym.Symbol('x')      \n",
    "y = sym.Symbol('y')\n",
    "alma=sym.Symbol('z')    #nem kell hogy passzoljanak"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "type(x)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "2*x+x**2"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "(x+y)**2"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "source": [
    "**Expand**\n",
    "\n",
    "Kifejti az kifejezést"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "sym.expand((x + y) ** 3)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "sym.expand(x + y, complex=True)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "sym.expand(sym.cos(x + y),trig=True)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "source": [
    "**Simplify**\n",
    "\n",
    "Egyszerűsíti a kifejezést"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "(x + x * y) / x"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "sym.simplify((x + x * y) / x)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "sym.simplify(sym.sin(x)/sym.cos(x))"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "sym.trigsimp(sym.sin(x)**2 + sym.cos(x)**2)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "source": [
    "**Behelyettesítés, kiértékelés**"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "f=sym.cos(x)+7\n",
    "f.subs(x,y)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "f # A SymPy objektumai immutableök!! (kivéve a mátrixokat)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "f.subs(x,0)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "source": [
    "**Szorzattá alakítás**"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "f = x ** 4 - 3 * x ** 2 + 1\n",
    "sym.factor(f)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "f = x ** 42 -1\n",
    "sym.factor(f)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "source": [
    "**Egyebek**\n",
    "\n",
    " - apart: parciális törtekre bontás\n",
    " - collect: adott változó szerint csoportosítás"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "expr = (4*x**3 + 21*x**2 + 10*x + 12)/(x**4 + 5*x**3 + 5*x**2 + 4*x)\n",
    "expr"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "sym.apart(expr)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "expr = x*y + x - 3 + 2*x**2*y**2 - y*x**2 + y**2+x**3\n",
    "collected_expr = sym.collect(expr, y)\n",
    "collected_expr"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "collected_expr = sym.collect(expr, x)\n",
    "collected_expr"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "source": [
    "# Számítások"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "**Határérték `limit`**"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "print(sym.limit(x, x, sym.oo))\n",
    "print(sym.limit((2*x+3) / x, x, sym.oo))\n",
    "print(sym.limit(x ** x, x, 0))"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "source": [
    "#### Deriválás\n",
    "A `sym.diff(func, var, n)` kiszámolja az n. deriváltat."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "sym.diff(sym.sin(2 * x), x, 2)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "\n",
    "sym.diff(sym.log(x), x, 1)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "source": [
    "**Taylor sorfejtés**"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "sym.series(sym.cos(x), x, 0)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "source": [
    "#### Integrálás\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "sym.integrate(6 * x ** 5, x)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "sym.integrate(sym.sin(x), x)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "sym.integrate(sym.exp(-x ** 2) * sym.erf(x), x)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "sym.integrate(sym.exp(-x**2 - y**2), (x, -sym.oo, sym.oo), (y, -sym.oo, sym.oo))"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "source": [
    "**Határozott integrál**"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "sym.integrate(sym.sin(x), (x, 0, sym.pi / 2))"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "**Improprius integrál**"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "sym.integrate(sym.exp(-x ** 2), (x, -sym.oo, sym.oo))"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "source": [
    "## Egyenletek megoldása\n",
    "Az első paraméter az egyenlet, aminek a gyökeit keresi, a második a változó."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "sym.solveset(x ** 4 - 1, x)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "a = sym.Symbol('a')      \n",
    "b = sym.Symbol('b')\n",
    "c = sym.Symbol('c')\n",
    "d = sym.Symbol('d')\n",
    "e = sym.Symbol('e')\n",
    "f = sym.Symbol('f')\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "sym.solveset(a*x ** 2 + b*x +c , x)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "sym.solveset(a*x ** 3 + b*x**2 +c*x+d , x) "
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "scrolled": true,
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "sym.solveset(a*x ** 4 + b*x**3 +c*x**2+d*x+e , x) "
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "sym.solveset(a*x ** 5 + b*x**4 +c*x**3+d*x**2+e*x+f , x)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "source": [
    "Ezzel szemben a Numpy simán megold nekünk magasabb rendű polinomokat numerikusan:"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "coeff = [1, 2, 1,2,7,9,10,11]\n",
    "np.roots(coeff)\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "source": [
    "**Lineáris egyenletrendszer**\n",
    "\n",
    "A `solve` parancsot használhatjuk, ami egy dict-el tér vissza.  "
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "solution = sym.solve((x + 5 * y - 2, -3 * x + 6 * y - 15), (x, y))\n",
    "solution[x], solution[y]"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "z=sym.Symbol('z')\n",
    "sym.linsolve([x + y + z - 1, x + y + 2*z - 3 ], (x, y, z))"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "source": [
    "# Lineáris algebra\n",
    "https://docs.sympy.org/latest/tutorial/matrices.html"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "sym.Matrix([[1, 0], [0, 1]])"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "source": [
    "**A nagy különbség a Numpy tömbjeivel szemben, hogy szimbólumokat is tehetünk bele!**"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "-"
    }
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "A = sym.Matrix([[1, x], [y, 1]])\n",
    "A"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "A.det()"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "A.eigenvals()"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "A.eigenvects()       ## sajátérték, multiplicitás, sajátvetor hármasokat ad vissza"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "P, D = A.diagonalize()\n",
    "print(P)\n",
    "print(D)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    " P*D*(P**-1)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "sym.simplify( P*D*P**-1)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Bonyolultabb kifejezéseknél olyan problémába is futhatunk, hogy a program nem tudja eldönteni a kifejezésről, hogy 0-e, és elrontja a Gauss-eliminációt. (Ez sajnos elkerülhetetlen: https://en.wikipedia.org/wiki/Constant_problem)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "source": [
    "## Szimbolikus függvények"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "f, g = sym.symbols('f g', cls=sym.Function)\n",
    "2*f(x)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "f(x).diff(x) + f(x)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "source": [
    "**Differenciálegyenletek**\n",
    "\n",
    "$f'(x)=f(x)$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "sym.dsolve(f(x).diff(x) - f(x), f(x))"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "sym.dsolve(sym.sin(x) * sym.cos(f(x)) + sym.cos(x) * sym.sin(f(x)) * f(x).diff(x), f(x), hint='separable') "
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "source": [
    "## Számelmélet\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "sym.isprime(4332221111)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "sym.isprime(314159)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "sym.sieve._list"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "120121 in sym.sieve"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "sym.sieve._list"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "sym.ntheory.generate.prime(100)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "sym.ntheory.factorint(120)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "source": [
    "Minden szám előáll legfeljebb 4 négyzetszám összegeként."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "from sympy.solvers.diophantine import diop_general_sum_of_squares\n",
    "from sympy.abc import a, b, c, d, e\n",
    "diop_general_sum_of_squares(a**2 + b**2 + c**2 + d**2 - 2345)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "[(i,diop_general_sum_of_squares(a**2 + b**2 + c**2 + d**2 - i)) for i in range (20)]\n",
    "        "
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "source": [
    "## Beépített függvények\n",
    "\n",
    "Teljes lista: https://docs.sympy.org/latest/modules/functions/index.html#functions-contents"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "print(sym.binomial(20,3))\n",
    "print(sym.factorial(5))\n",
    "print(sym.gamma(4.5))\n",
    "print(sym.fibonacci(10))\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "source": [
    "### Modulok \n",
    "https://docs.sympy.org/latest/modules/index.html"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "source": [
    "# Példa\n",
    "**Létezik-e négy pont a síkon, hogy bármely kettő távolsága páratlan?**\n",
    "\n",
    "Tegyük fel, hogy létezik, legyen az egyik pont az origó a másik három pedig $(A_x,A_y),(B_x,B_y),(C_x,C_y)$. Legyen $N=\\begin{pmatrix}\n",
    "A_y & B_x & C_x\\\\\n",
    "A_y & B_y & C_y\n",
    "\\end{pmatrix}\n",
    "$\n",
    "\n",
    "és $M=2NN^T=\\begin{pmatrix}\n",
    "2|A|^2 & 2<A,B> & 2<A,C>\\\\\n",
    "2<A,B> & 2|B|^2 & 2<B,C> \\\\\n",
    "2<A,C> & 2<B,C> & 2|C|^2   \\\\\n",
    "\\end{pmatrix}\n",
    "=\\begin{pmatrix}\n",
    "2|A|^2 & |A|^2+|B|^2-|AB|^2 & |A|^2+|C|^2-|AC|^2\\\\\n",
    "|A|^2+|B|^2-|AB|^2 & 2|B|^2 & |B|^2+|C|^2-|BC|^2 \\\\\n",
    "|A|^2+|C|^2-|AC|^2 & |B|^2+|C|^2-|BC|^2 & 2|C|^2   \\\\\n",
    "\\end{pmatrix}\n",
    "$\n",
    "\n",
    "Világos hogy $det(M)=0$ mivel $rank(M)\\le rank(N)\\le 2$\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "a = sym.Symbol('a')      \n",
    "b = sym.Symbol('b')\n",
    "c = sym.Symbol('c')\n",
    "d = sym.Symbol('d')\n",
    "e = sym.Symbol('e')\n",
    "f = sym.Symbol('f')\n",
    "ma=2*a+1\n",
    "mb=2*b+1\n",
    "mc=2*c+1\n",
    "md=2*d+1\n",
    "me=2*e+1\n",
    "mf=2*f+1\n",
    "\n",
    "M=sym.Matrix([[2*ma**2, ma**2+mb**2-md**2,ma**2+mc**2-me**2],[ ma**2+mb**2-md**2,2*mb**2,mb**2+mc**2-mf**2],[ ma**2+mc**2-me**2,mb**2+mc**2-mf**2,2*mc**2] ])\n",
    "M"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "expr=sym.simplify(sym.expand(M.det()))\n",
    "expr"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "expr.as_coefficients_dict()"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "[a%8 for a in expr.as_coefficients_dict().values()]\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "slideshow": {
     "slide_type": "subslide"
    }
   },
   "source": [
    "Mivel minden együttható osztható 8-al kivéve a konstans tag, a determináns nem lehet osztható 8-al. Tehát nem lehet 0, ellentmondásra jutottunk. "
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "celltoolbar": "Slideshow",
  "kernelspec": {
   "display_name": "Python 3",
   "language": "python",
   "name": "python3"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": {
    "name": "ipython",
    "version": 3
   },
   "file_extension": ".py",
   "mimetype": "text/x-python",
   "name": "python",
   "nbconvert_exporter": "python",
   "pygments_lexer": "ipython3",
   "version": "3.7.3"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 2
}